Resumen rápido
- El modelo divide la vida de la opción en varios pasos y contempla una subida o una bajada del subyacente en cada nodo.
- Primero calcula cuánto valdría la call o la put al vencimiento y después recorre el árbol hacia atrás.
- Utiliza una probabilidad neutral al riesgo que sirve para valorar, no para predecir el mercado.
- Es especialmente útil con opciones americanas porque permite valorar el ejercicio anticipado.
- El resultado es un precio teórico: la prima que encuentres en mercado puede ser diferente.
Qué calcula realmente el modelo binomial
La versión más conocida es el modelo de Cox, Ross y Rubinstein, o modelo CRR. Su planteamiento parte de una idea de ausencia de arbitraje: si puedes construir una cartera que replique los pagos de una opción, el valor de ambas posiciones debe ser coherente.
El trabajo original de Cox, Ross y Rubinstein desarrolla precisamente esta relación entre el precio del subyacente, una posición sin riesgo y el valor de la opción.
En vez de asumir un único precio futuro, el modelo construye distintos caminos posibles para el subyacente. Para utilizarlo necesitas conocer, entre otros datos, el precio actual, el precio de ejercicio o strike, la fecha de vencimiento y una estimación de volatilidad.
Esta última variable es especialmente importante. Si quieres entender de dónde puede salir ese dato, conviene tener claro cómo funciona la volatilidad implícita en opciones.
Cómo se construye el árbol binomial
El modelo empieza dividiendo el tiempo que queda hasta el vencimiento de la opción en varios periodos. En cada uno de ellos, el precio del activo solo puede seguir dos caminos: subir o bajar. De ahí viene el nombre de modelo binomial.
Supongamos que:
- S₀ es el precio actual del activo.
- T es el tiempo hasta el vencimiento, expresado en años.
- n es el número de periodos del árbol.
- σ es la volatilidad estimada del activo.
- r es el tipo de interés libre de riesgo.
La duración de cada periodo se calcula así:
Δt = T / n
Por ejemplo, si queda un año hasta el vencimiento y construimos un árbol de cuatro periodos, cada paso representa 0,25 años.
1. Calculamos cuánto puede subir o bajar el activo
En el modelo de Cox-Ross-Rubinstein (CRR), uno de los planteamientos binomiales más utilizados, el factor de subida se calcula como:
u = e^(σ√Δt)
Y el factor de bajada como:
d = 1 / u
Esto no quiere decir que el mercado vaya a moverse exactamente en esos porcentajes. Son movimientos teóricos utilizados para construir el árbol de valoración.
Si el activo vale 100 €, por ejemplo, el siguiente nodo alcista sería:
100 € × u
Y el nodo bajista:
100 € × d
El proceso se repite desde cada nuevo nodo hasta llegar al vencimiento.
2. Calculamos la probabilidad neutral al riesgo
El siguiente paso consiste en obtener la llamada probabilidad neutral al riesgo:
p = (e^(rΔt) − d) / (u − d)
Es importante no interpretar mal este dato.
La probabilidad neutral al riesgo no indica la probabilidad real de que la acción suba. No sirve para predecir el mercado. Es una herramienta matemática que permite obtener un precio de la opción coherente con el principio de ausencia de arbitraje.
El movimiento bajista tendrá, dentro del modelo, una probabilidad de:
1 − p
3. Calculamos cuánto vale la opción al vencimiento
Cuando llegamos a los últimos nodos del árbol ya podemos calcular el valor de la opción.
Para una call, el pago al vencimiento es:
Valor de la call = máximo entre (S − K) y 0
Para una put:
Valor de la put = máximo entre (K − S) y 0
Aquí:
- S es el precio que alcanza el activo en ese nodo final.
- K es el precio de ejercicio o strike de la opción.
Por ejemplo, si una call tiene un strike de 100 € y el activo termina valiendo 120 €, su valor intrínseco será de 20 €. Si termina en 90 €, la call vencerá sin valor y su pago será 0 €.
4. Recorremos el árbol hacia atrás
Una vez sabemos cuánto vale la opción en los nodos finales, hacemos el recorrido inverso hasta llegar al presente.
En cada nodo calculamos:
V = e^(−rΔt) × [p × Vsubida + (1 − p) × Vbajada]
Dicho de forma sencilla, hacemos tres cosas:
- Tomamos el valor que tendría la opción si el activo sube.
- Lo combinamos con el valor que tendría si baja utilizando las probabilidades neutrales al riesgo.
- Descontamos ese resultado al valor presente.
Repetimos el cálculo nodo por nodo hasta llegar al inicio del árbol.
El número obtenido en ese primer nodo es el valor teórico que el modelo binomial asigna a la opción.
No significa necesariamente que esa sea la prima de la opción que encontrarás en mercado. La cotización real depende de la oferta y la demanda y de variables como el precio del subyacente, la volatilidad, el tiempo restante hasta el vencimiento y los tipos de interés.
La forma más fácil de quedarse con la lógica es esta: primero construyes los posibles precios del activo, después calculas cuánto valdría la opción al vencimiento y, por último, recorres el árbol hacia atrás hasta obtener su valor de hoy.
Ejemplo sencillo del modelo binomial con una call
Vamos con un ejemplo hipotético de un solo paso para entender la mecánica.
Imagina una acción que cotiza a 100 €, una call con strike de 100 €, vencimiento a un año, una volatilidad del 20 %, un tipo libre de riesgo del 3 % y ningún dividendo.
Con esos supuestos obtenemos aproximadamente:
| Momento | Si sube | Si baja |
|---|---|---|
| Precio del subyacente al vencimiento | 122,14 € | 81,87 € |
| Valor de la call al vencimiento | 22,14 € | 0 € |
Los factores serían aproximadamente (u=1,2214) y (d=0,8187). La probabilidad neutral al riesgo resultante sería aproximadamente 0,5258.
Al descontar el pago esperado al 3 %, obtenemos un valor teórico de la call cercano a: 11,30 €
Lo importante no es memorizar los 11,30 €. Lo importante es entender el recorrido: creas los posibles precios futuros, calculas el pago de la opción al final y vuelves hacia atrás hasta obtener su valor presente.
Un error muy habitual sería interpretar el 0,5258 como una previsión de que la acción tiene un 52,58 % de probabilidades de subir. No es así. Esa probabilidad pertenece al mecanismo matemático de valoración del modelo.
Por qué funciona especialmente bien con opciones americanas
Una opción europea solo puede ejercerse en la fecha de vencimiento. Una opción americana, en cambio, permite ejercer antes. La CNMV también utiliza esta distinción al explicar el funcionamiento de estos contratos.
Aquí el árbol binomial resulta especialmente útil porque, en cada nodo, puedes comparar el valor de continuar manteniendo la opción con el valor que obtendrías ejerciéndola.
Eso permite introducir el ejercicio anticipado directamente en el cálculo. En el modelo clásico, una call americana sobre una acción sin dividendos no debería ejercerse anticipadamente; con puts o determinadas situaciones relacionadas con dividendos, esa conclusión puede cambiar.
Qué limitaciones tiene el modelo binomial
El árbol sigue siendo una representación simplificada del mercado. Su resultado depende de los datos que introduzcas: volatilidad, tipos de interés, dividendos, vencimiento y número de pasos.
Un árbol de un solo paso, como el del ejemplo anterior, sirve para aprender, pero sería demasiado aproximado para una valoración seria. Utilizar más pasos permite representar el proceso con mayor detalle y, bajo los supuestos adecuados, el modelo CRR converge hacia la valoración de Black-Scholes para opciones europeas.
Eso tampoco convierte el resultado en un precio indiscutible. Una valoración teórica puede separarse de la prima de mercado, y una pequeña modificación de la volatilidad puede cambiar bastante el resultado.
Para entender mejor cómo responde el precio ante cambios en el subyacente, la volatilidad o el paso del tiempo, el siguiente concepto útil son las griegas de las opciones.
Cómo utilizar el modelo binomial en la práctica
La utilidad real del modelo está en usarlo como herramienta de contraste. Puedes introducir precio del subyacente, strike, vencimiento, volatilidad, tipo de interés y número de pasos, obtener una valoración y compararla después con la prima que cotiza en mercado.
También merece la pena modificar la volatilidad o aumentar el número de pasos. Así ves rápidamente hasta qué punto tu valoración depende de los supuestos que has elegido.
Si no quieres construir el árbol desde cero, el simulador de primas de opciones de MEFF incluye, entre sus alternativas, el modelo binomial.
Si después de entender la valoración quieres pasar a la operativa real, para un inversor en España que ya comprende el funcionamiento y los riesgos de las opciones, en Finantres consideramos DEGIRO la mejor opción práctica para este caso.
No es una recomendación para empezar a operar derivados sin experiencia. La propia documentación de DEGIRO confirma que ofrece opciones, pero exige una cuenta Active o Trader para acceder a estos productos complejos, además de pruebas de conveniencia y otras condiciones.
Antes de elegir, también puedes revisar nuestra comparativa de los mejores brokers de opciones para valorar mercados disponibles, herramientas y costes. Y si finalmente operas desde España, la valoración matemática es solo una parte: conviene tener controlada también la fiscalidad de las opciones.
La CNMV recuerda que las opciones son derivados: el comprador adquiere un derecho, mientras que el vendedor asume una obligación. Los derivados pueden implicar riesgos elevados y requieren comprender bien qué ocurre cuando una posición evoluciona en contra. Saber calcular el precio teórico de una opción no significa dominar el riesgo de operarla.
Conclusión
El modelo binomial de valoración de opciones transforma un problema complejo en una secuencia bastante intuitiva: construyes un árbol de posibles precios, calculas el valor de la opción al vencimiento y recorres los nodos hacia atrás mediante probabilidades neutrales al riesgo.
Su gran ventaja es que permite ver cómo se forma el precio y gestionar situaciones como el ejercicio anticipado de las opciones americanas. Úsalo para valorar y comparar escenarios, no para intentar predecir hacia dónde irá el mercado.
Si vas a dar el salto de la teoría a la operativa, asegúrate antes de entender el contrato, las pérdidas posibles, los costes y las condiciones del broker.
